School

Радиан - естествена и безразмерна мярка за ъгъл

а) определение - един радиан е ъгълът, който отговаря на дъга с дължина радиуса на окръжността

б) измерване на централен ъгъл в радиани - ъгълът $\phi$ в радиани е равен на съотношението между дължината на отговарящата му дъга $s$ и радиуса $r$

$$\phi =\frac{s}{r}$$

в) зависимост между радиани и градуси - на цялата окръжност от 360° градуса съответстват $2\pi$ радиана

$$2\pi \text{ rad}=360°$$

Движение по окръжност с постоянна скорост - големината на скоростта е константа

а) скорост - винаги перпендикулярна на окръжността

б) центростремително ускорение - ускорението винаги е насочено перпендикулярно на вектора на скоростта и сочи навътре към центъра на окръжността

$$a=\frac{v^2}{R}$$

Доказателство:

От $O{P}_1\perp R$ и $O{P}_2\perp R$ следва, че $\angle P_{1}O{P}_2=\angle ({\vec{v}}_1,O,{\vec{v}}_2)=\Delta \varphi$ (след преместване на векторите на скоростта в точката $O$). Следователно

$$△P_{1}O{P}_2\sim △(\overrightarrow{v_1},O,\overrightarrow{v_2})⟹\frac{v}{R}=\frac{|\Delta \vec{v}|}{\Delta s}$$

$$|\Delta \vec{v}|=\frac{v}{R}\Delta s⟹\frac{|\Delta \vec{v}|}{\Delta t}=\frac{v}{R}\frac{\Delta s}{\Delta t}$$

От лимита на това уравнение се получава, че

$$\frac{dv}{dt}=\frac{v}{R}\frac{ds}{dt}=\frac{v^2}{R}$$

$$